【高联一试专题三】函数的复合与迭代

1.

设四次整系数多项式 $f(x)$ 满足

f\!\left(1+\sqrt[3]{3}\right)=1+\sqrt[3]{3}, \qquad f\!\left(1+\sqrt{3}\right)=7+\sqrt{3},

则 $f(x)=$ ______。

解法：

设

f(x)=a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5.

由

f\!\left(1+\sqrt[3]{3}\right)=1+\sqrt[3]{3}

可知，令

F(x)=f(x)-x,

则

F\!\left(1+\sqrt[3]{3}\right)=0.

因此 $x=1+\sqrt[3]{3}$ 是方程

a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+(a_4-1)x+a_5=0

的一个根。

因为

x-1=\sqrt[3]{3},

两边立方得

(x-1)^3=3,

即

x^3-3x^2+3x-1=3,

所以

x^3-3x^2+3x-4=0.

因此

x^3-3x^2+3x-4

是 $f(x)-x$ 的一个因式。

又因为 $f(x)$ 是四次整系数多项式，所以可设

f(x)-x=(x^3-3x^2+3x-4)(ax+b).

另一方面，由

f\!\left(1+\sqrt{3}\right)=7+\sqrt{3}

可得

f\!\left(1+\sqrt{3}\right)-\left(1+\sqrt{3}\right)=6,

即

f(x)-x-6

在 $x=1+\sqrt{3}$ 处为零。因此

x=1+\sqrt{3}

是方程

f(x)-x-6=0

的一个根。

因为

x-1=\sqrt{3},

两边平方得

(x-1)^2=3,

即

x^2-2x+1=3,

所以

x^2-2x-2=0.

因此

x^2-2x-2

是 $f(x)-x-6$ 的一个因式。

于是可设

f(x)-x-6=(x^2-2x-2)(cx^2+dx+e).

即

f(x)-x=(x^2-2x-2)(cx^2+dx+e)+6.

又由前面的分解可设

f(x)-x=(x^3-3x^2+3x-4)(ax+b).

比较两种表达式中 $f(x)-x$ 的系数。

先展开

(x^3-3x^2+3x-4)(ax+b),

得

ax^4+(b-3a)x^3+(3a-3b)x^2+(3b-4a)x-4b.

再展开

(x^2-2x-2)(cx^2+dx+e)+6,

得

cx^4+(d-2c)x^3+(e-2d-2c)x^2+(-2e-2d)x+(-2e+6).

比较对应项系数，得

\begin{cases} a=c,\\ b-3a=d-2c,\\ 3a-3b=e-2d-2c,\\ 3b-4a=-2e-2d,\\ -4b=-2e+6. \end{cases}

由 $a=c$ ，第二式化为

b-3a=d-2a,

即

d=b-a.

第五式化为

e=2b+3.

代入第四式：

3b-4a=-2(2b+3)-2(b-a),

即

3b-4a=-4b-6-2b+2a,

所以

3b-4a=-6b+2a-6.

整理得

9b-6a=-6,

即

3b-2a=-2. \tag{1}

再代入第三式：

3a-3b=(2b+3)-2(b-a)-2a.

右边化简为

2b+3-2b+2a-2a=3,

所以

3a-3b=3,

即

a-b=1. \tag{2}

由 $(2)$ 得

a=b+1.

代入 $(1)$ ：

3b-2(b+1)=-2,

即

3b-2b-2=-2,

所以

b=0.

于是

a=1.

因此

f(x)-x=(x^3-3x^2+3x-4)x.

展开得

f(x)-x=x^4-3x^3+3x^2-4x.

所以

f(x)=x^4-3x^3+3x^2-4x+x,

即

\boxed{f(x)=x^4-3x^3+3x^2-3x}.

检验：

当 $x=1+\sqrt[3]{3}$ 时，

x^3-3x^2+3x-4=0,

而

f(x)-x=x(x^3-3x^2+3x-4),

所以

f(x)-x=0,

即

f\!\left(1+\sqrt[3]{3}\right)=1+\sqrt[3]{3}.

当 $x=1+\sqrt{3}$ 时，

x^2-2x-2=0.

由 $x^2=2x+2$ ，得

x^3=6x+4,\qquad x^4=16x+12.

于是

\begin{aligned} f(x)-x &=x^4-3x^3+3x^2-4x\\ &=(16x+12)-3(6x+4)+3(2x+2)-4x\\ &=16x+12-18x-12+6x+6-4x\\ &=6. \end{aligned}

所以

f(x)-x=6,

即

f(1+\sqrt3)-(1+\sqrt3)=6,

因此

f(1+\sqrt3)=7+\sqrt3.

故所求为

\boxed{f(x)=x^4-3x^3+3x^2-3x}.

2.

若

f(x)=\frac{1+x}{1-3x},

$f_1(x)=f(f(x))$ ， $f_{n+1}(x)=f(f_n(x))$ ，则

f_{2026}(-2)=

______。

解法：

由题意，

f(x)=\frac{1+x}{1-3x}.

先计算 $f$ 的前几次迭代，寻找规律。

第一次迭代：

f^{(1)}(x)=f(x)=\frac{1+x}{1-3x}.

第二次迭代：

f^{(2)}(x)=f(f(x)) =\frac{1+\dfrac{1+x}{1-3x}}{1-3\cdot\dfrac{1+x}{1-3x}}.

分子分母同乘 $1-3x$ ，得

f^{(2)}(x) =\frac{(1-3x)+(1+x)}{(1-3x)-3(1+x)} =\frac{2-2x}{-2-6x} =\frac{x-1}{1+3x}.

第三次迭代：

f^{(3)}(x)=f(f^{(2)}(x)) =\frac{1+\dfrac{x-1}{1+3x}}{1-3\cdot\dfrac{x-1}{1+3x}}.

分子分母同乘 $1+3x$ ，得

f^{(3)}(x) =\frac{(1+3x)+(x-1)}{(1+3x)-3(x-1)} =\frac{4x}{4} =x.

因此

f^{(3)}(x)=x,

即 $f$ 的迭代周期为 $3$ 。于是对任意正整数 $k$ ，

f^{(3k)}(x)=x,\qquad f^{(3k+1)}(x)=f(x),\qquad f^{(3k+2)}(x)=f^{(2)}(x).

题中

f_1(x)=f(f(x))=f^{(2)}(x),

且

f_{n+1}(x)=f(f_n(x)),

所以 $f_n(x)$ 是 $f$ 迭代 $n+1$ 次，即

f_n(x)=f^{(n+1)}(x).

因为

2026=3\times 675+1,

所以

f_{2026}(x)=f^{(2027)}(x).

而

2027=3\times 675+2,

故

f^{(2027)}(x)=f^{(2)}(x)=\frac{x-1}{1+3x}.

因此

f_{2026}(x)=\frac{x-1}{1+3x}.

代入 $x=-2$ ，得

f_{2026}(-2) =\frac{-2-1}{1+3(-2)} =\frac{-3}{-5} =\frac35.

所以

\boxed{f_{2026}(-2)=\frac35}.

3.

设

f(x)=\frac{1010x+1009}{1009x+1010},

定义

f^{(1)}(x)=f(x),\qquad f^{(i)}(x)=f\left(f^{(i-1)}(x)\right),\quad i=2,3,\dots

则 $f^{(n)}(x)=$ ______。

解法：

注意到

f(x)+1 =\frac{1010x+1009+1009x+1010}{1009x+1010} =\frac{2019(x+1)}{1009x+1010},

f(x)-1 =\frac{1010x+1009-(1009x+1010)}{1009x+1010} =\frac{x-1}{1009x+1010}.

因此

\frac{f(x)+1}{f(x)-1} =\frac{2019(x+1)}{x-1} =2019\cdot\frac{x+1}{x-1}.

记

g(x)=\frac{x+1}{x-1},

则上式即为

g(f(x))=2019\,g(x).

反复迭代可得

g\left(f^{(n)}(x)\right)=2019^n g(x),

即

\frac{f^{(n)}(x)+1}{f^{(n)}(x)-1} =2019^n\cdot\frac{x+1}{x-1}.

令

y=f^{(n)}(x),\qquad k=2019^n,

则有

\frac{y+1}{y-1}=k\frac{x+1}{x-1}.

交叉相乘得

(y+1)(x-1)=k(x+1)(y-1).

展开并整理：

yx-y+x-1=kxy-kx+ky-k,

y\bigl[(1-k)x-(1+k)\bigr]=-(k+1)x-(k-1),

所以

y=\frac{(k+1)x+(k-1)}{(k-1)x+(k+1)}.

代回 $k=2019^n$ ，得

\boxed{ f^{(n)}(x) =\frac{(2019^n+1)x+(2019^n-1)} {(2019^n-1)x+(2019^n+1)} }.

检验：

当 $n=1$ 时，

f^{(1)}(x) =\frac{2020x+2018}{2018x+2020} =\frac{1010x+1009}{1009x+1010},

与题给 $f(x)$ 一致。故结果正确。

7.

已知函数 $f(x)$ 是单调函数，且当 $x\in(0,+\infty)$ 时，都有

f\!\left(f(x)+\frac{2}{x}\right)=1,

则 $f(1)=$ ______。

解法：

因为 $f(x)$ 是单调函数，所以自变量与函数值一一对应。即若 $f(u)=f(v)$ ，则必有 $u=v$ 。

由题意，对任意 $x\in(0,+\infty)$ ，都有

f\!\left(f(x)+\frac{2}{x}\right)=1.

由于右边恒为常数 $1$ ，而 $f$ 单调，从而一一对应，所以括号内的自变量必须为常数。设

f(x)+\frac{2}{x}=k,

其中 $k>0$ 且 $k$ 为常数。于是

f(x)=k-\frac{2}{x}.

由 $f(k)=1$ ，得

f(k)=k-\frac{2}{k}=1.

即

k^2-k-2=0,

解得

k=2\quad\text{或}\quad k=-1.

因为 $k>0$ ，所以

k=2.

于是

f(x)=2-\frac{2}{x}.

验证：对任意 $x>0$ ，

f(x)+\frac{2}{x}=2-\frac{2}{x}+\frac{2}{x}=2,

所以

f\!\left(f(x)+\frac{2}{x}\right)=f(2)=2-\frac{2}{2}=1,

满足题意。

因此

f(1)=2-\frac{2}{1}=0.

所以

\boxed{f(1)=0}.

注：也可直接由 $f(x)+\dfrac{2}{x}=k$ 取 $x=k$ ，得 $f(k)+\dfrac{2}{k}=k$ 。又 $f(k)=1$ ，故 $1+\dfrac{2}{k}=k$ ，即 $k^2-k-2=0$ ，得 $k=2$ ，从而 $f(x)=2-\dfrac{2}{x}$ ， $f(1)=0$ 。

9.

已知函数 $f(x)$ 满足：

f(1)=\frac14,\qquad 4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),

则 $f(2019)=$ ______。

解法：

由题意，对任意实数 $x,y$ ，都有

4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y).

取 $y=1$ ，得

4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1).

因为 $f(1)=\dfrac14$ ，所以

f(x)=f(x+1)+f(x-1). \tag{1}

将 $(1)$ 中的 $x$ 换成 $x+1$ ，得

f(x+1)=f(x+2)+f(x). \tag{2}

由 $(1)$ 得

f(x+1)=f(x)-f(x-1). \tag{3}

比较 $(2)$ 和 $(3)$ ，得

f(x+2)+f(x)=f(x)-f(x-1),

所以

f(x+2)=-f(x-1). \tag{4}

将 $(4)$ 中的 $x$ 换成 $x+3$ ，得

f(x+5)=-f(x+2). \tag{5}

由 $(4)$ 和 $(5)$ 得

f(x+5)=f(x-1). \tag{6}

将 $(6)$ 中的 $x$ 换成 $x+1$ ，得

f(x+6)=f(x). \tag{7}

因此 $f(x)$ 是以 $6$ 为周期的周期函数。

由周期性直接得

f(2019)=f(3).

再由

f(3)=-f(0)=-\frac12

得结果。

11.

已知函数 $f(x)$ 满足：对任意实数 $x,y$ ，都有

f(x+y)=f(x)+f(y)+6xy

成立，且

f(-1)f(1)\ge 9,

则 $f\!\left(\dfrac23\right)=$ ______。

解法：

在

f(x+y)=f(x)+f(y)+6xy

中取 $x=y=0$ ，得

f(0)=f(0)+f(0),

所以

f(0)=0.

取 $x=1,y=-1$ ，得

f(0)=f(1)+f(-1)+6\cdot1\cdot(-1),

即

0=f(1)+f(-1)-6,

所以

f(1)+f(-1)=6. \tag{1}

又已知

f(-1)f(1)\ge 9. \tag{2}

由 $(1)$ 和基本不等式，当 $f(1)+f(-1)=6$ 时，

f(1)f(-1)\le\left(\frac{f(1)+f(-1)}{2}\right)^2=3^2=9.

结合 $(2)$ 得

f(1)f(-1)\le 9,\qquad f(1)f(-1)\ge 9,

所以

f(1)f(-1)=9.

等号成立当且仅当

f(1)=f(-1)=3. \tag{3}

下面求 $f\!\left(\dfrac23\right)$ 。

取 $x=1,y=0$ ，得

f(1)=f(1)+f(0)+0,

这没有给出新信息。

为了求 $f\!\left(\dfrac13\right)$ ，取 $x=\dfrac13,y=-\dfrac13$ ，得

f(0)=f\!\left(\frac13\right)+f\!\left(-\frac13\right) +6\cdot\frac13\cdot\left(-\frac13\right),

即

0=f\!\left(\frac13\right)+f\!\left(-\frac13\right)-\frac23,

所以

f\!\left(\frac13\right)+f\!\left(-\frac13\right)=\frac23. \tag{4}

取 $x=\dfrac13,y=\dfrac13$ ，得

f\!\left(\frac23\right) =2f\!\left(\frac13\right)+6\cdot\frac13\cdot\frac13 =2f\!\left(\frac13\right)+\frac23. \tag{5}

取 $x=\dfrac23,y=\dfrac13$ ，得

f(1)=f\!\left(\frac23\right)+f\!\left(\frac13\right) +6\cdot\frac23\cdot\frac13,

即

3=f\!\left(\frac23\right)+f\!\left(\frac13\right)+\frac43.

所以

f\!\left(\frac23\right)+f\!\left(\frac13\right)=\frac53. \tag{6}

将 $(5)$ 代入 $(6)$ ：

2f\!\left(\frac13\right)+\frac23+f\!\left(\frac13\right)=\frac53,

即

3f\!\left(\frac13\right)=\frac53-\frac23=1,

所以

f\!\left(\frac13\right)=\frac13. \tag{7}

将 $(7)$ 代入 $(5)$ ，得

f\!\left(\frac23\right) =2\cdot\frac13+\frac23 =\frac23+\frac23 =\frac43.

因此

\boxed{f\!\left(\frac23\right)=\frac43}.

检验：

由

f(x+y)=f(x)+f(y)+6xy

可猜出

f(x)=3x^2.

验证：

f(x+y)=3(x+y)^2=3x^2+3y^2+6xy=f(x)+f(y)+6xy,

满足函数方程。且

f(1)=3,\qquad f(-1)=3,\qquad f(-1)f(1)=9\ge 9,

满足条件。于是

f\!\left(\frac23\right) =3\cdot\left(\frac23\right)^2 =3\cdot\frac49 =\frac43.

结果一致。

【高联一试专题三】函数的复合与迭代

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